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Ciência e Weltanschauung - a Álgebra como Ciência Árabe.

L. Jean Lauand
Universidade de São Paulo
jeanlaua@usp.br


      Originalmente, conferência proferida em 14 - 4 - 98 na Universidad Autónoma de Madrid - Depto. de Estudios Árabes e Islámicos.

1. A Ciência e seu contexto cultural

      Neste estudo, analisaremos a Álgebra como ciência árabe. Comecemos por antecipar alguns tópicos de discussão sobre que significado pode ter falar em ciência desta ou daquela nação ou cultura - para além do mero fato de indicar o estágio de desenvolvimento ou a produção dos cientistas de uma nacionalidade, como quando se diz: "a Física russa está bastante adiantada e é detentora de diversos Prêmios Nobel" ou "só a Medicina americana consegue fazer esse tipo de transplante" etc.
      Ordinariamente tendemos a pensar que o conhecimento científico independe de latitudes e culturas: uma fórmula química ou um teorema de Geometria são os mesmos em latim ou em chinês e, sendo a comunicação o único problema - assim se pensa, à primeira vista -, bastaria uma boa tradução dos termos próprios de cada disciplina e tudo estaria resolvido. Na verdade, sabemos que as coisas não são tão simples e não é preciso muito esforço para lembrar que a evolução da ciência está repleta de interferências histórico-culturais, condicionando o surgimento de uma disciplina, o reconhecimento de um resultado ou a adoção de um procedimento científico...
       É conhecido, por exemplo, o fato de que espíritos tão inovadores como Galileu ou Descartes apegaram-se ao "dogma científico" do horror ao vácuo (1) ; só Pascal - na mesma época e após muita relutância - superou esse erro. Descartes, em seu Princípios da Filosofia - mesmo tratado que começa afirmando ser necessário duvidar radicalmente de tudo o que possa apresentar a mais ínfima incerteza -, toma como uma intuição irrefutável da razão a idéia tradicional de que a natureza tem horror ao vácuo...
      Esses condicionamentos são de diversas ordens. Assim, ao dizer que a Geometria (geo-metria, em grego) é uma ciência grega ou que a Álgebra (al-jabr) é uma ciência árabe (2) , estamos afirmando algo mais do que a "casualidade" de terem sido gregos ou árabes seus fundadores ou promotores.
      Aproximamo-nos do sentido da expressão "ciência árabe" quando pensamos em casos paralelos. Diz-se, por exemplo, que a caligrafia é uma "arte árabe", mas não se diz que a pintura ou o teatro sejam "artes árabes". Nesses casos, não estamos aqui interessados no fato de haver muitos e talentosos calígrafos árabes (ou no da correspondente escassez de pintores), mas numa "conexão de sentido" entre a arte caligráfica e fatores como: a atitude árabe perante a escrita (e sua relação, digamos, com o modo como o Alcorão considera os ayyat, os sinais de Deus); a desconfiança semita em relação à imagem; a língua e a religião; etc. (3).
      No caso da Álgebra, não foi por mero acaso que ela surgiu no califato abássida ("ao contrário dos Omíadas, os Abássidas pretendem aplicar rigorosamente a lei religiosa à vida quotidiana" (4) ), no seio da "Casa da Sabedoria" (Bayt al-Hikma) de Bagdad, promovida pelo califa Al-Ma'amun (5) , uma ciência nascida em língua árabe e criada por Al-Khwarizmi, pioneiro da ciência árabe e "antagonista da ciência grega" (6).
      Certamente, o que a moderna matemática entende por Álgebra pode parecer uma fria e objetiva axiomática - constitutiva de uma sintaxe de estruturas operatórias e destituída de qualquer alcance semântico -, mas essa Álgebra de hoje é o resultado da evolução - em desenvolvimento contínuo - da velha al-jabr, forjada por um contexto cultural em que não são alheios, elementos que vão desde as estruturas gramaticais do árabe à teologia muçulmana da época...



2. Al-jabr e al-muqabalah 1332368b.gif - 348 Bytes


      Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi foi membro da "Casa da Sabedoria", a importante academia científica de Bagdad, que alcançou seu esplendor sob Al-Ma'amun (califa de 813 a 833). A ele, Al-Khwarizmi dedicou seu Al-Kitab al-muhta-sar fy hisab al-jabr wa al-muqabalah ("Livro breve para o cálculo da jabr e da muqabalah"), o livro fundador da Álgebra.

      Comecemos por observar que as palavras que nomeiam a nova ciência, al-jabr e al-muqabalah, embora empregadas por Al-Khwarizmi em sentido técnico, eram (e ainda são) termos da linguagem corrente árabe. O radical trilítere j-b-r (7) está associado aos seguintes significados:
  • Força: por exemplo, o anjo Gabriel, Jibryl, é, literalmente, força-de-Deus. No Alcorão (59, 23), Al-Jabar - o forte, o que faz valer sua vontade - é um dos 99 nomes de Deus.

  • Força que compele, que obriga: neste sentido, o Alcorão diversas vezes (11, 59; 14, 15; 28, 19; 40, 35; etc.) emprega j-b-r para "tiranizar", "tirano" etc.. Não por acaso, a corrente teológica muçulmana que nega o livre-arbítrio do homem em favor de um inevitável destino pré-determinado foi denominada jabariyah. E também o serviço militar compulsório é ijbary...

  • Restabelecer: pôr (ou repor) algo em seu devido lugar, restabelecer uma normalidade. Daí que tajbir seja ortopedia e jibarah, redução, no sentido médico: reconduzir (talvez forçando-o por tala, gesso etc.) o osso a seu devido lugar: na Espanha, no tempo em que os barbeiros acumulavam funções, podia-se ver a placa "Algebrista y Sangrador" em barbearias (8). "Álgebra" no sentido de "ortopedia" vigorou, por muito tempo, também na língua portuguesa (9).

      Por que Al-Khwarizmi escolhe a palavra jabr para o procedimento fundamental de sua nova ciência? Precisamente porque - analogamente à ortopedia - a Álgebra é "forçar cada termo a ocupar seu devido lugar". Já no começo de seu Kitab, Al-Khwarizmi distingue seis formas de equação, às quais toda equação dada pode ser reduzida (e, portanto, canonicamente resolvida). Em notação de hoje:


    1. ax2 = bx
    2. ax2 = c
    3. ax = c
    4. ax2 + bx = c
    5. ax2 + c = bx
    6. bx + c = ax2


      Al-jabr é a operação que soma um mesmo fator (afetado do sinal +) a ambos os membros de uma equação para eliminar um fator afetado com o sinal - .
      Já a operação que elimina termos iguais ou semelhantes de ambos os lados da equação é al-muqabalah (que, por sua vez, deriva do radical q-b-l, cujo significado é: estar frente a frente - daí a qiblah na mesquita indicar a direção de Meca -; cara a cara - daí também que qabila seja também beijar -; confrontar; equiparar -"toma lá, dá cá" - etc.).

Seja, então, um problema em que os dados podem ser postos sob a forma:

   2x2 + 100 - 20x = 58.

Al-Khwarizmi procede do seguinte modo:

   2x2 + 100 = 58 + 20x   (por al-jabr).


Divide por 2 e reduz os termos semelhantes:

   x2 + 21 = 10x   (por al-muqabalah).


E o problema já está canonicamente equacionado.

      Feita esta digressão técnica, passemos a analisar (em alguns casos não será possível superar a mera alusão indicativa...) as relações e conexões de sentido que se dão entre a Álgebra e alguns aspectos da cultura árabe.



3. A Álgebra no Islam: o religioso e o temporal 1332368b.gif - 348 Bytes


      Comecemos pelos fundamentos das necessidades práticas da sociedade.
      Em seu estudo "L'Islam et l'épanouissement des sciences exactes" (10) , Roshdi Rashed, para mostrar a conexão entre Alcorão, ciência e vida prática, exemplifica precisamente com a Álgebra: 'ilm al-fara'id (ciência da partilha, da herança). Os próprios juristas referem-se à Álgebra como hisab al-fara'id, o cálculo da herança, segundo a lei corânica. E aí temos já um primeiro condicionamento histórico-cultural, próprio do Islam, no qual o caso da herança é emblemático. Trata-se da sólida união que se dá no Islam entre a ordem religiosa e a temporal.
      Por coincidência, o mesmo problema da herança (para o muçulmano, sob a legislação direta de Allah) é proposto a Cristo. Cristo, que declara - algo impensável na visão muçulmana - "A César o que é de César; a Deus o que é de Deus", recusa-se a estabelecer concretamente os termos da herança.
      Trata-se de um episódio evangélico aparentemente intranscendente: "um da multidão" aproxima-se de Cristo e faz um pedido: que Jesus use Sua autoridade para convencer seu irmão a repartir com ele a herança (Lc 12, 13). Para surpresa daquele homem (e contrariando a mentalidade antiga e a oriental, que uniam o poder religioso a questões temporais...), Cristo recusa-se terminantemente a intervir nessa questão: "Homem, quem me estabeleceu juiz ou árbitro de vossa partilha?" (Lc 12, 14). O máximo a que Cristo chega é a uma condenação genérica da cobiça, contando a esses irmãos a parábola do homem rico cujos campos haviam produzido abundante fruto e com o célebre convite à contemplação dos lírios: "Olhai os lírios do campo...".
      Bem diferentes são as coisas no mundo muçulmano. Roger Garaudy, no capítulo "Fé e Política" mostra como a tawhid (unidade, dogma central islâmico) muçulmana se projeta sobre a política, o direito e a economia: "Deus é o único proprietário e ele é o único legislador. Tal é o princípio de base do Islam em sua visão de unidade (tawhid)" (11) .

      Garaudy tem razão ao afirmar que não se dá no Islam (não há sacerdotes), uma teocracia clerical de tipo ocidental, mas é inegável, também, que a visão muçulmana tem favorecido uma forte e arraigada teocracia própria e não por acaso o chefe político se intitula ayyatullah, "sinal de Deus" (12) .
      Seja como for, o fato é que, na questão da herança, o Alcorão (4, 11 e ss.) diz concretamente: "Allah vos ordena o seguinte no que diz respeito a vossos filhos: que a porção do varão equivalha à de duas mulheres. Se estas são mais de duas (13) , corresponder-lhes-ão dois terços da herança. Se é filha única, a metade. A cada um dos pais corresponderá um sexto da herança, se deixa filhos; mas se não tem filhos e lhe herdam só os pais, um sexto é para a mãe. Etc., etc.". E conclui: "De vossos ascendentes ou descendentes, não sabeis quais vos são os mais úteis. Isto compete a Allah. Allah é onisciente, sábio".
       Contrastemos com o cristianismo. Naturalmente, para um cristão, o mundo é criação de Deus e obra de sua Inteligência: o mundo foi criado pelo Verbum e, portanto, conhecer o mundo é conhecer sinais de Deus. E mais: cada criatura é porque é criada inteligentemente por Deus, participa do ser de Deus. O Deus cristão é Emmanuel, Deus conosco, e pela Encarnação, a eternidade de Deus ingressa na temporalidade e Cristo encabeça, recapitula (como diz o Catecismo da Igreja Católica) toda a realidade criada.
      Daí que a Igreja defenda tenazmente a lei moral, lei natural da dignidade do ser do homem, que lhe foi conferida pelo ato criador do Verbum. Mas, precisamente por essa mesma concepção teológica, o cristão pode afirmar a mais decidida autonomia das realidades temporais: porque o mundo é obra do Verbum, a realidade temporal tem sua verdade própria, suas leis próprias, naturais, descartando o clericalismo (14) .
      Esta é mesmo a doutrina oficial da Igreja, que rejeita definitivamente tanto o clericalismo quanto o laicismo que pretende afastar Deus da realidade social. Assim, na mesma passagem (4, 36) em que a Lumen Gentium ( (15) ) afirma: "nenhuma atividade humana pode ser subtraída ao domínio de Deus", ajunta: "é preciso reconhecer que a cidade terrena, a quem são confiados os cuidados temporais, se rege por princípios próprios". E a Gaudium et Spes (1, 3, 36): "Se por autonomia das realidades terrestres entendemos que as coisas criadas e as mesmas sociedades gozam de leis e valores próprios, a serem conhecidos, usados e ordenados gradativamente pelo homem, é absolutamente necessário exigi-la. Isto não é só reivindicado pelos homens de nosso tempo, mas está também de acordo com a vontade do Criador. Pela própria condição da criação, todas as coisas são dotadas de fundamento próprio, verdade, bondade, leis e ordem específicas. O homem deve respeitar tudo isto, reconhecendo os métodos próprios de cada ciência e arte" (16) .
      Em extremo sentido contrário, um Ayyatulah Khomeini (17) pôde afirmar: "Costuma-se dizer que a religião deve ser separada da política e que as autoridades religiosas não se devem imiscuir nos assuntos de Estado. (...) Tais afirmações só emanam dos ateus: são ditadas e espalhadas pelos imperialistas. A política estava separada da religião no tempo do Profeta? (Que Deus o abençoe, a Ele e aos seus fiéis)" (p. 27). "O Islam tem preceitos para tudo o que diz respeito ao homem e à sociedade. Esses preceitos procedem do Todo-Poderoso e são transmitidos pelo seu Profeta e Mensageiro. (...) Não existe assunto sobre o qual o Islam não haja emitido seu juízo" (p. 19). "A instauração de uma ordem política secular equivale a entravar o progresso da ordem islâmica. Todo poder secular, seja qual for a forma pela qual se manifesta, é forçosamente um poder ateu, obra de Satanás. É nosso dever exterminá-lo e combater seus efeitos. (...) Não temos outra solução senão derrubar todos os governos que não repousam nos puros princípios islâmicos, sendo, portanto, corruptos e corruptores (...) É esse o dever, não só dos iranianos, mas de todos os muçulmanos do mundo." (p. 23)
      O Islam, ao contrário do cristianismo, afirma uma absoluta transcendência de Deus (transcendência acentuada pela doutrina mu'atazilita) e uma revelação ditada (18) , "descida" (em árabe, o verbo nazala, que se aplica à revelação divina, significa também "descer"). A revelação de Allah e sua tawhid estão sinalizadas (19) no mundo. E o princípio da unidade não se aplica só à política, mas alcança também as ciências.
      Em primeiro lugar, as ciências estão a serviço da fé (20) , também de um modo prático: uma sociedade sob a forte e urgente necessidade de obedecer à lei do Altíssimo, precisa operacionalizar as soluções dos graves problemas de partilha. A Álgebra surge como uma ciência voltada para a resolução desse problema suscitado pelo Alcorão (21) . Cabe, nesse sentido, uma simples - porém, sugestiva - observação: a Álgebra de Al-Khwarizmi é inteiramente retórica e não emprega simbolos. Note-se que os números simples são designados por dirham, que é uma unidade monetária; a incógnita é designada pela palavra árabe xay', coisa, e, se é de ordem quadrada, mal (riqueza, bens, fortuna).
      Além disso, de um modo intrínseco: "o princípio da tawhid, o ponto capital da experiência islâmica de Deus, exclui a separação entre ciência e fé. Tudo, na natureza, sendo 'sinal' da presença divina, o conhecimento da natureza torna-se (...) um acesso à proximidade de Deus. (...) A sabedoria da fé integra todas as ciências num conjunto orgânico, pois todas têm um objetivo no mundo que, em sua totalidade, é uma 'teofania', uma revelação dos 'sinais de Deus'. O universo é um 'ícone' no qual o Um se revela através do múltiplo por mil símbolos" (22).
      Nesse sentido, um importante instrumento de ligação entre as ciências é precisamente a Álgebra. Referindo-se à época em que surge a Álgebra de Al-Khwarizmi, Roshdi Rashed diz: "O começo do século IX é um grande momento de expansão da matemática helenística em língua árabe. Ora, é precisamente nesse período e nesse meio (o da "Casa da Sabedoria" de Bagdad) que Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi redige um livro com assunto e estilo novos. De fato, é nessas páginas que surge, pela primeira vez, a Álgebra como disciplina matemática distinta e independente. Tal surgimento - e já os contemporâneos se apercebem disso - foi de importância crucial, tanto pelo estilo dessa matemática, como pela ontologia de seu objeto (grifo nosso) e, mais ainda, pela riqueza de possibilidades que com ela se abrem. O estilo é, ao mesmo tempo, algorítmico e demonstrativo e, com essa álgebra, imediatamente já se deixa entrever a imensa potencialidade que impregnará a Matemática a partir do séc. IX: a aplicação das disciplinas matemáticas umas às outras" (23) .



4. A Álgebra no sistema língua/pensamento árabe. 1332368b.gif - 348 Bytes


      Neste tópico resumiremos algumas características do sistema língua/pensamento, no sentido que essa expressão tem em Lohmann (24) e as relações entre seus dois pólos: língua e pensamento. Essa análise permitir-nos-á uma melhor compreensão de aspectos da Álgebra como ciência árabe e de sua evolução (em contraposição à Geometria, ciência grega).
      Uma primeira observação sobre as relações entre língua e forma de pensamento é a de que "o que nos interessa não são as línguas em si, mas as línguas enquanto pré-determinam uma certa concepção de mundo para o falante, ou como diz Heidegger, eine Erschlossenheit des Daseins" (25) . Em outras palavras, o alcance do pensamento condiciona-se pela linguagem. Não só pelo maior ou menor número e profundidade de conceitos e potencial expressivo dos vocábulos, mas também (e principalmente) pelas estruturas peculiares de cada língua ou famílias de línguas.
     Assim, cabe falar num sistema língua/pensamento, que, no caso do grego, é justamente designado por logos e, no caso do árabe, por ma'na. "O conceito de ma'na, 'intencionalidade' (26) , é tão característico da forma árabe de pensamento, como o é a noção específica do termo grego logos, em sua concepção original, para a forma de pensamento do grego clássico. E, além do mais, justamente por essas duas noções, ou, por assim dizer, sob os auspícios dessas duas noções, é que essas duas formas de pensamento, encarnadas, cada uma em uma língua determinada - o grego clássico e o árabe clássico - exprimiram-se como tais em uma filosofia" (27) .

      E, poderíamos complementar: exprimiram-se também em Álgebra e Geometria.
      Pois o sistema grego, logos, busca estabelecer uma exata correspondência entre pensamento e realidade. Correspondência biunívoca já programaticamente estabelecida por Parmênides quando afirma: Tò gàr auto noein estin te kaì einai ("Na verdade, pensar e ser é, ao mesmo tempo, a mesma coisa"). Tal pretensão de pensamento é possibilitada por diversos fatos de linguagem. Destacaremos dois para efeito de contraste com o árabe.

1) Ao contrário do árabe, no centro semântico do sistema grego, "encontra-se o verbo esti (ser), que, segundo Aristóteles, está implicitamente contido em qualquer outro verbo" (28) . O verbo ser, característica central do sistema logos (e de todo o indo-europeu), permitiria o enlace exato entre a realidade em si mesma e o pensamento: pelo verbo ser o pensamento homo-loga o real.

      Um exemplo ajudar-nos-á a compreender essa relação. Seja o caso de especialistas em segurança contra incêndio que homologam um determinado edifício. Eles dispõem de um logos, um corpo de normas técnicas racionalmente estabelecidas e, inspecionando um prédio, verificam se a realidade (a presença de tantos extintores de incêndio, tais e tais mangueiras, portas corta-fogo, saídas de emergência etc.) daquele edifício está no mesmo logos (homo-logação) da norma. Do mesmo modo, para o sistema grego, o pensamento está em homologia com a realidade.

2) A língua grega flexiona temas (enquanto a árabe flexiona a própria raiz de uma palavra). No exemplo tradicional das gramáticas elementares de latim (e, obviamente, o mesmo se dá com o grego), o radical ros de rosa permanece fixo, pois uma rosa é uma rosa; qualquer outro fator (seu relacionamento com o mundo exterior, com o pensamento humano ou com qualidades que são nela): da cor da rosa (genitivo) ao mosquito nela pousado (ablativo), é refletido pelas desinências rosam, rosarum, rosae etc. O árabe, por sua vez, não tem radicais fixos: o radical trilítere é intra-flexionado: SaLaM; iSLaM; SaLyM; muSLiM etc. (correspondente à ousía, à substantia). Lohmann interpreta este fato do seguinte modo: "O árabe, como o semítico em geral, de um lado, e o grego, de outro, estabelecem relações com o mundo: um, principalmente pelo ouvido e o outro, pelo olho. Tal fato levou o falante semítico a uma preponderância da religião, enquanto o grego tornou-se o inventor da teoria. Daí decorre (ou procede...?) uma diferença análoga das respectivas línguas, quanto a seu tipo de expressão. Cada um desses dois tipos caracteriza-se por um procedimento gramatical específico: flexão de raízes no semítico e flexão de temas no indo-europeu antigo" (29) .

      A omnipresença do verbo ser e a flexão de temas, como agudamente indica Lohmann, favorecem um sistema logos ("ocular", "especular") de correspondência exata entre pensamento e realidade que, como veremos, é característica também da Geometria grega.
      Já o árabe tende ao sistema ma'na - pensamento "auricular", "pensamento confundente" (30) - pela ausência da amarra do verbo ser como verbo de ligação, pela indeterminação semântica de seus radicais trilíteres etc.
      Configura-se, assim, uma despretensão de atingir a ousía, a substantia.

      Tal posicionamento é confirmado pela religião e, particularmente, pela doutrina mu'atazilita, que é o pensamento teológico imposto oficialmente pelo califa Al-Ma'amun em Bagdad, à época de Al-Khwarizmi. Pode-se aplicar à Álgebra as considerações de Lohmann sobre as "distorções" na recepção da filosofia grega pelos árabes e, principalmente, por Averróes: "(Um aspecto) que se deve conhecer para se compreender a intenção do Comentador (subjacente à sua interpretação de Aristóteles) é a noção de essentia (como tradução da palavra árabe dhat). Dhat - conceito profundamente arraigado no aristotelismo árabe na especulação teológica islâmica do século IX da nossa era, em Bagdad - é a essência de Deus, em oposição aos atributos, por cuja mediação, fala-se de Deus no Alcorão. A essência de Deus, segundo a doutrina mu'tazilita - teologia oficial de Bagdad na primeira metade do século IX - é absolutamente transcendente em oposição a esses atributos. Essa transcendência absoluta de Deus - expressa pela noção dhat e traduzida em latim por essentia -, em oposição a todas as noções descritivas (sifat, em árabe), transformou-se em S. Tomás (e, de certa maneira, já no Comentador, considerado uma autoridade por S. Tomás) em uma transcendência da coisa real com relação ao intelecto humano - transcendência que conduziu, em seguida e enfim, ao Ding an sich de Kant".
      Junte-se a estas considerações, o critério - certamente não casual - da seleção de fontes de Al-Khwarizmi. Solomon Gandz, o moderno editor de Al-Khwarizmi, considera essencial, no fundador da Álgebra, seu caráter oriental, não-grego e mesmo anti-grego. Vale a pena transcrever sua introdução ao capítulo "Mensuração" do Kitab:



5. Al-Khwarizmi, o antagonista da influência grega 1332368b.gif - 348 Bytes


      Na universidade de Bagdad, fundada por Al-Ma'amun (813-33), a chamada Bayt al-Hikma, onde Al-Khwarizmi trabalhou sob o patrocínio do Califa, floresceu também um velho colega seu, chamado Al-Hajjaj ibn Yusuf ibn Matar. Este homem era o líder da corrente a favor da recepção da ciência grega pelos árabes. Dedicou toda sua vida a traduzir para o árabe as obras gregas. Já no califato de Harun al-Rashid (786-809), Al-Hajjaj tinha traduzido Os Elementos de Euclides. Quando Al-Ma'amun tornou-se califa, Al-Hajjaj tentou obter seu favor para uma segunda edição de sua tradução de Euclides. Posteriormente (829-830), traduziu o Almagesto. Ora, Al-Khwarizmi nunca menciona seu colega nem tampouco suas obras. Euclides e sua Geometria, embora disponíveis pela boa tradução do colega, são totalmente ignorados por Al-Khwarizmi, quando ele escreve sobre Geometria. E mais, no "Prefácio" de sua Álgebra, Al-Khwarizmi claramente enfatiza seu objetivo de escrever um tratado popular que, ao contrário da matemática teórica grega, sirva a fins práticos do povo em seus negócios de heranças e legados, em seus assuntos jurídicos, comerciais, de exploração da terra e de escavação de canais. Al-Khwarizmi aparece não como um discípulo dos gregos, mas muito pelo contrário, como o adversário de Al-Hajjaj e da escola grega. Ele é o representante das ciências populares nativas. Na Academia de Bagdad, Al-Khwarizmi representa, antes, uma reação contrária à introdução da matemática grega. Sua Álgebra causa uma impressão de protesto contra a tradução de Euclides e contra toda a tendência de acolhimento das ciências gregas (31).


6. Árabe x Grego: os conceitos de razão e proporção 1332368b.gif - 348 Bytes


      A geometria grega é o modelo acabado do sistema grego (32) , de uma "língua de visão", em correspondência, tanto quanto possível, bijetora com o real.
      Esse "tanto quanto possível" impõe seus limites: na matemática grega, não encontraremos o número zero (o zero não tem correspondente-logos com o real) e é conhecido o escândalo histórico produzido pela descoberta da incomensurabilidade de grandezas (o número irracional, para os gregos a-logos!, entra em contradição com o próprio sistema de pensamento grego). E, de um modo positivo, Euclides (33) afirma que o um é a realidade e a unidade é aquilo pelo que cada uma das coisas que são é chamada de um!

      Já o árabe é diferente. Seu sistema língua/pensamento não é logos, mas ma'na: prevalece não a pretensão de a linguagem acompanhar pari passu o ente, mas o sentido mental (intentio, ma'na), independentemente da correspondência-logos com o real. Daí que a ciência árabe, por excelência, seja a Álgebra (com zero e números negativos). E o irracional, na incomensurabilidade geométrica, é aceito com total naturalidade pelo árabe.
      Descreveremos neste tópico, sucintamente, a superação do sistema logos no caso paradigmático da conceituação matemática de razão e proporção (34) . Essa superação tem um importante marco inicial no matemático e poeta Omar Khayyam (35) , que abre caminho para os números irracionais.
      Para analisar os conceitos de razão e proporção nos Elementos, comecemos pela observação de Heath: "É digno de nota, o fato de que a teoria das proporções recebe duplo tratamento em Euclides: refere-se a grandezas em geral, no livro V, e só ao caso particular de números, no livro VII" (36) .

      Para Heath, Euclides teria seguido a tradição: reproduzindo a antiga teoria de proporções (anterior à crise dos incomensuráveis) e também a nova, atribuída a Eudoxo (a do livro V). Esta definição (V, def. 5) reza: "Diz-se que magnitudes estão na mesma razão - a primeira para a segunda e a terceira para a quarta - quando: para quaisquer equimúltiplos que sejam tomados da primeira e da terceira comparados a quaisquer equimúltiplos que sejam tomados da segunda e da quarta, os primeiros equimúltiplos coincidem em superar (igualar ou inferar) os segundos equimúltiplos respectivamente tomados na ordem correspondente".
      Vuillemin observa que esta teoria permite eludir o problema dos irracionais (37) . Subtrai-se o conceito de razão ao âmbito da medida (e evita, portanto, o escândalo dos incomensuráveis). E é precisamente essa definição de razão que será objeto de crítica por parte de Omar Khayyam: para ele, Euclides não teria atinado com o verdadeiro significado de razão, que se encontra no processo de medida de uma grandeza por outra (38) . Assim, Omar Khayyam define
A:B = C:D

      Todos os múltiplos da primeira são retirados da segunda, até que se tenha um resto ( R ) menor do que a primeira e, igualmente, todos os múltiplos da terceira são retirados da quarta, até que se tenha um resto ( R ) menor do que a terceira. E o número de múltiplos da primeira na segunda é igual ao número de múltiplos da terceira na quarta. E mais: extraímos da primeira, todos os múltiplos do resto da segunda, até obter um novo resto ( R ) menor que o resto da segunda e igualmente, extraímos da terceira, todos os múltiplos do resto da quarta, até obter um novo resto menor que o resto da quarta. E o número de múltiplos do resto da segunda é igual ao número de múltiplos do resto da quarta. Etc. E, assim, ad infinitum. Então, a razão entre a primeira e a segunda é necessariamente a que se dá entre a terceira e a quarta. Esta é que é a verdadeira proporcionalidade a modo geométrico (39)
      Este processo - já mencionado por Aristóteles - é o que os gregos chamam de antanairesis ou antiphayresis. A quantidade menor, digamos B, é subtraída de A, com resto R1.


E assim,

R1 = A - q1B.


A seguir, R1 é subtraído - tanto quanto possível - de B:

R2 = B - q2R1
,

E assim por diante...


       Após afirmar a excelência da antiphayresis, Omar Khayyam levanta a questão decisiva para o estabelecimento dos números irracionais: se a razão deve ser entendida como um tipo de número.
     Desprendidos do compromisso grego de correspondência pensamento/realidade, autores árabes como Nasir ad-Din at-Tusi não verão inconveniente em considerar todas as razões (e os limites das antiphayresis) como números.

      Um tal acolhimento só é possível no sistema ma'na...





Referências
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(1) . Para o episódio do "horror ao vácuo", ver Pieper, Josef "A tese de Pascal: Teologia e Física - uma introdução ao Préface pour le traité du vide" Cuadernos de Cultura y Ciencia, Madrid - S. Paulo, Univ. Autónoma de Madrid/ DloFflchusp, 1996, N. 2, pp.29 e ss.

(2) . Ao longo deste trabalho, estaremos nos referindo principalmente aos casos paradigmáticos de Os Elementos de Euclides e da Álgebra, tal como fundada por Al-Khwarizmi.

(3) . Uma análise desses fatores condicionantes da arte árabe encontra-se em Hanania, Aida R. A Caligrafia como Expressão Cultural - A Arte de Hassan Massoudy, tese de Livre-Docência, FFLCH-USP, 1995.

(4) . Anawati, M-M e Gardet, Louis Introduction a la Théologie Musulmane, Paris, Vrin, 1981, p. 44.

(5) . Não é de todo alheio a nosso tema, o fato de que esse califa fez de uma particular doutrina, a mu'atazilita, a teologia oficial do Império.

(6) . E, como indicaremos, não são casuais as definições euclidianas de razão e proporção (e os limites impostos a esses conceitos nos Elementos) nem tampouco a reação dos matemáticos árabes a essas definições.

(7) . Como se sabe, o radical consonantal é, em árabe, o que é semanticamente decisivo: as vogais, a prefixação etc. só fazem uma determinação periférica de sentido.

(8) . Kline, Morris Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York, Oxford University Press, 1972, p. 192.

(9) . Cfr. por exemplo Nimer, Michel Influências Orientais na Língua Portuguesa, São Paulo, s.c.p., 1943, vol. I, verbete Álgebra.

(10) . In Quatre conférences publiques organisées par l'Unesco, UNESCO, 1981, p. 152.

(11) . Garaudy, Roger Promessas do Islam, Rio de Janeiro, Nova Fronteira, 1988, p. 70.

(12) . Embora Garaudy, acostumado - por seu passado marxista - à distinção entre socialismo ideal e "socialismo realmente existente", uma e outra vez recorra à "distinção entre o ensino corânico e a prática dos países muçulmanos..." (p. 70).

(13) . E se só há filhas...

(14) . Tratamos mais amplamente do tema em Tomás de Aquino hoje, Curitiba-S. Paulo, PUC-PR - GRD, 1993.

(15) . Sugestivamente no capítulo IV, dedicado aos leigos - a cuja iniciativa e responsabilidade de cristãos compete a santificação da ordem temporal.

(16) . Cfr. também Apostolicam Actuositatem (II, 7).

(17) . Em seus Princípios políticos, filosóficos, sociais e religiosos, Rio de Janeiro, Record, 1980.

(18) . E não meramente inspirada ao hagiógrafo, como no cristianismo.

(19) . Ayyat significa não só sinal, mas também versículo do Alcorão.

(20) . "Deus, em sua misericórdia infinita, confiou o Alcorão a Seu profeta, para que o homem possa decifrar a natureza e, desta forma, transcendê-la. O estudo do Alcorão é uma iniciação ao estudo da natureza. O estudo da natureza é uma procura de Deus. Os fenômenos naturais são cifras que significam Deus. O Alcorão fornece os testes de verificação para os esforços decifradores da pesquisa da natureza. O homem pode comparar a natureza ao Alcorão, porque sua mente participa do espírito divino. A origem divina da mente humana é vivenciada justamente por sua capacidade de adequação do Alcorão à natureza. Por sua capacidade algébrica e decifradora, a mente humana tem a estrutura da mente divina" (FLUSSER, V. "A mesquita e a escrita", Revista de Estudos Árabes, DLO-FFLCHUSP, v. 1, n. 2, 1993, p. 33.

(21) . Este é um fato tão notório, que é destacado por todos os historiadores da matemática árabe. Citaremos aqui apenas três dos mais conhecidos: Yousch-kewitch, A. P. Les mathématiques arabes, Paris, Vrin-CNRS, 1976. Dalmedico, A. - Peiffer, J. Une histoire des mathématiques, Paris, Seuil, 1988. Waerden, B. L. van der A History of Algebra, New York, Springer Verlag, 1985. Note-se que precisamente a parte sobre problemas práticos de herança, a parte III do Kitab..., que ocupa mais da metade do livro de Al-Khwarizmi, é omitida nas traduções latinas de Roberto de Chester - feita em Segóvia em 1145 - e de Gerardo de Cremona - falecido em 1187 -, em Toledo.

(22) . Garaudy, op. cit. pp. 81, 84-85.

(23) . "Modernidade Clássica e Ciência Árabe", Revista de Estudos Árabes, DLO-FFLCHUSP, v. 1, n. 1, 1993, p. 9.

(24) . Lohmann, Johannes "Santo Tomás e os Árabes - Estruturas lingüísticas e formas de pensamento" Revista de Estudos Árabes, Centro de Estudos Árabes/FFLCHUSP, São Paulo, Ano III, n. 5-6, pp. 33-51. Tit. orig.: "Saint Thomas et les Arabes (Structures linguistiques et formes de pensée)", Revue Philosophique de Louvain, t. 74, fév. 1976, pp. 30-44. Trad.: Ana L. Carvalho Fujikura e Helena Meidani.

(25) . Art. cit. p. 38. Mesmo reconhecendo uma certa radicalização na posição de Lohmann, não resta dúvida de que há - senão uma determinação - pelo menos um forte condicionamento do pensamento pelas estruturas da língua. Talvez fosse melhor falar em interação dialética, na medida em que também o pensamento influencia a formação da língua.

(26) . No sentido técnico-filosófico de intentio, apresentado por Lohmann.

(27) . Art. cit. p. 35-36.

(28) . Art. cit. p. 35.

(29) . Art. cit., p. 36.

(30) . No sentido "técnico" que Ortega y Gasset e Julian Marías dão à expressão.

(31) . Cit. por Waerden, B. L. op. cit., pp. 14-15.

(32) . Já a geometria contemporânea, ligada à moderna concepção de sistemas axiomáticos, aproximar-se-ia de uma outra forma de pensamento (derivada do sistema logos, mas já independente) - também discutida por Lohmann no artigo citado -, paradigmatizado pelo inglês falado nos dias de hoje.

(33) . Livro VII, def. 1. Citaremos pela ed. de HEATH, Thomas L. The Thirteen books of Euclid's Elements, translated from the text of Heiberg with Intr. and Comm. New York, Dover, 2nd. ed., s.d., vol. I-III.

(34) . Para um estudo da recepção do conceito euclidiano de razão entre os árabes, veja-se Plooij, E. B. Al-Djajjâni - Commentary on Ratio in Euclid's conception of Ratio as criticized by arabian commentators, Rotterdam, Uitgeuerij W.J. van Hengel, 1950.

(35) . Omar Khayyam está tão distante do ideal grego de homologação do real e tão imerso nos amthal do sistema ma'na, que numa das Rubayyat - a de número XCIV (cito pela edição Les Quatrains d'Omar Khayyam, trad. intr. et notes de Charles Grolleau, Paris, Champ Libre, 1980 - chega a escrever: "Para falar claramente e sem parábolas: / Nós somos as peças do jogo, jogado pelo Céu / Que brinca conosco no tabuleiro da existência / E depois voltamos, um a um, para a caixa do Nada".

(36) . Op. cit. v. II, p. 113.

(37) . Vuillemin, J. De la Logique a la Théologie, Paris, Flammarion, 1967, pp. 12 e ss.

(38) . Como observa Dirk J. Struik em "Omar Khayyam Mathematician" The Mathematics Teacher, April 1958: "Omar is here on the road to the extension of the number concept which leads to the notion of the real number".

(39) . Omar Khayyam cit. por Werden, B. L. v. der A History of Algebra - From al-Khwarizmi to Emmi Noether, N. York, Springer Verlag, 1985, p. 30.



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