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O Princípio da Incerteza de Heisenberg. Henrique Fleming O processo que levou Werner Heisenberg a chegar aos princípios da Mecânica Quântica, na década de vinte, é sumariado neste artigo. Jovem estudante de Sommerfeld, Heisenberg era, segundo o depoimento de seus contemporâneos, dotado de um brilho excepcional. Um dos seus pontos de partida foi a leitura do "Timeu" de Platão. Werner Heisenberg (1901-1976) foi o descobridor da Mecânica Quântica, que desempenha hoje o papel que foi anteriormente da Mecânica Newtoniana. Em muitos aspectos essa teoria é capaz de causar um impacto ainda maior que o da Relatividade de Einstein, e não no meio cientifico. De fato, como pretendo mostrar neste e em outros artigos, a Mecânica Quântica traz em seu bojo idéias que deverão alterar profundamente a teoria do conhecimento, e até mesmo pôr em questão a possibilidade de obtenção ilimitada de conhecimento. Heisenberg chegou a Mecânica Quântica seguindo uma estratégia que é de interesse em si. Para entendê-la é necessário rever a situação da Física por volta de 1925. Em 1911 Niels Bohr apresentou um modelo do átomo de hidrogênio que descrevia corretamente o seu espectro. Para obtê-lo, Bohr acrescentava as leis da Mecânica Newtoniana uma regra que selecionava órbitas nas quais o elétron podia mover-se em torno do núcleo sem emitir radiação eletromagnética. Esta regra, hoje conhecida como regra de quantização de Bohr, devia ser aceita sem outra justificação que o seu sucesso, tratando-se, assim, de um novo postulado. Apesar do êxito na reprodução dos dados experimentais, a situação permanecia altamente insatisfatória: a regra de quantização não era consistente com a teoria da interação matéria - radiação, que previa a emissão de radiação mesmo nas órbitas selecionadas. Com o passar dos anos o prosseguimento das pesquisas ao longo das linhas abertas por Bohr conduziu a formulação de novas regras de quantização, bastante elaboradas, chamadas de Bohr- Sommerfeld, que permitiam o cálculo do espectro de um número razoável de átomos, de novo através da seleção de certas órbitas, nas quais os elétrons podiam mover-se sem irradiar. Nenhuma luz fora lançada, no entanto, sobre o problema de justificar essa propriedade especial de tais órbitas. Uma excelente visão dessa época é propiciada pela leitura do livro clássico de Sommerfeld, "Atombau und Spektrallinien", que compila praticamente tudo o que se sabia sobre o átomo em 1920. Enquanto que um certo sucesso (malgrado o aspecto "ad hoc" das regras) era obtido na descrição da radiação emitida por um átomo, outras propriedades atômicas permaneciam misteriosas. A intensidade da emissão, por exemplo, e o espalhamento da radiação, eram muito pouco entendidos, na época. As forças de longo alcance entre moléculas, chamadas forças de Van der Waals, não eram entendidas nem mesmo qualitativamente. Foi neste período que Heisenberg, jovem estudante de Sommerfeld, apareceu no cenário cientifico. Era, a julgar pelos comentários de seus contemporâneos, uma pessoa de excepcional brilho, mesmo pelos elevadíssimos padrões da ciência alemã de então. Não tardou a se convencer de que os esquemas que permitiam o cálculo dos espectros de certos átomos eram demasiado complicados e pouco confiáveis para poderem constituir uma mecânica do átomo, para não falar das inconsistências que brotavam de todo ponto ao qual se dirigisse alguma atenção. Pareceram-lhe semelhantes aos mecanismos descritos no Timeu, de Platão, que lera por aquela época. Tendo encontrado pouco depois em Niels Bohr um julgamento semelhante ao seu, e todo o estímulo de que poderia precisar, partir para a descoberta de uma mecânica para o átomo com uma estratégia sensata: que as elaboradas regras para o cálculo de órbitas eram eficientes para o cálculo de espectros, mas falhavam no cálculo de muitas outras propriedades do átomo, pareceu-lhe natural tentar obter os espectros atômicos sem falar em trajetórias, sem mesmo, na verdade, supor a existência de trajetórias. Em termos mais gerais, procurou obter as freqüências da luz emitida pelos átomos utilizando em seus cálculos apenas quantidades macroscopicamente observáveis. Fazendo, isto é, o mínimo de suposições sobre o que era, em detalhe, o átomo. A história de como conseguiu, desta forma, descobrir a mecânica atômica, que, por isso mesmo, é a mecânica de todo o Universo, não pode ser contada nas páginas de um jornal. É, contudo, digno de nota que conseguiu resolver o problema quando resistiu a tentação de impor a Natureza qualquer idéia do que fosse um átomo, e se dispôs a ouvir o que ela tinha a dizer. Em 1925, com a descoberta da Mecânica Quântica, Werner Heisenberg tornou-se um dos maiores físicos de todos os tempos. 0 Principio da Incerteza De posse da mecânica do átomo, poder-se-ia pensar em, utilizando a teoria, deduzir a trajetória descrita por um elétron. Para surpresa da comunidade cientifica, a resposta da Mecânica Quântica foi de que era irnpossível calcular a trajetória pela razão de que não existia trajetória! A proibição dessa existência é expressa através do famoso Princípio da Incerteza, descoberto por Heisenberg em 1927, que afirma a impossibilidade de se determinar simultaneamente a posição e a velocidade de uma partícula com precisão arbitrariamente grande. Na verdade é possível especificar qualquer uma dessas duas quantidades tão precisamente quanto se queira, mas, a medida que se aumenta a precisão na determinação de uma, perde-se precisão na determinação da outra. Mais precisamente, não é possível estipular que o vaIor da coordenada x e do seu momento conjugado p sejam dados por X e P com incerteza arbitrariamente pequena. Ao contrário, se DELTA00.gif - 945 Bytesx e DELTA00.gif - 945 Bytesp designam respectivamente a incerteza no valor da coordenada e do momento, existe a desigualdade, chamada de relação de incerteza, DELTA00.gif - 945 Bytes x . DELTA00.gif - 945 Bytes p maior-igual.gif - 937 Bytes h/4, onde h é a constante de Planck. Uma vez que a constante é muito pequena (6,6 x 10-27 erg. seg), a relação de incerteza é de pouca importância para a experiência ordinária. Por exemplo, o erro na determinação da posição e da velocidade de um satélite artificial é absolutamente irrelevante mesmo para os mais refinados cálculos de órbitas. Por outro lado, é de grande significado na interpretação de experimentos atômicos e possui implicações filosóficas surpreendentes. 0 Principio da Incerteza é uma conseqüência inelutável da Mecânica Quântica. Pode, contudo, ser compreendido em termos de certas experiências imaginárias, estudadas em grande detalhe por Heisenberg e, posteriormente, por Bohr. Examinemos, de maneira muito simplificada, um desses experimentos. A visualização de um elétron se quando um fóton emitido por este elétron é detectado (digamos, pela retina do observador). Lance- se, por exemplo, um feixe de fótons de comprimento de onda L em direção à região onde se encontra o elétron. O fóton que com ele colidir será refletido (absorvido e reemitido) e sua detecção nos informará sobre a posição do elétron. Naturalmente, um fóton de comprimento de onda L não pode determinar a posição do elétron com precisão maior do que L. Seria de se pensar, portanto, que a utilização de um fóton de comprimento de onda menor fornecesse informações mais completas. Sabe-se, porém, que a quantidade de movimento de um fóton é inversamente proporciona ao seu comprimento de onda. Logo, ao usarmos fótons de menor comprimento de onda para aprimorarmos a medida da posição do elétron, estaremos automaticamente usando fótons de maior quantidade de movimento que, ao serem refletido pelo elétron, transferirão a ele uma quantidade de movimento tanto maior quanto menor for o comprimento de onda. Assim, ao aprimorarmos a determinação da posição do elétron, estaremos alterando o valor de sua quantidade de movimento por um valor que é tanto maior quanto mais precisa for a determinação da posição. Uma análise mais detalhada mostra que o valor desta transferência de momento é incontrolável. Ora, a trajetória de uma partícula é determinada pelo conhecimento, em um dado instante, da posição e da velocidade da partícula. A impossibilidade desse duplo conhecimento acarreta automaticamente a impossibilidade de determinação da trajetória. Não há trajetórias na mecânica Quântica ! Nessa análise da observação de um elétron, o fóton representa a ação do observador sobre o objeto observado. O fato de o elétron ser visto implica a necessidade de que um fóton seja emitido por ele, com as conseqüências descritas. O princípio da incerteza é, assim, uma manifestação da impossibilidade de se ignorar a interação observador - sistema observado. É impossível, na descrição do mundo atômico, separar completamente o observador do "resto da Natureza", uma vez que o distúrbio causado pela observação é comparável aos próprios fenômenos que estão sendo observados. É notável que essa "intromissão" do observador em toda descrição da Natureza seja, não o resultado de uma convicção filosófica, mas uma conseqüência imprevista de uma teoria formulada para o estudo quantitativo de fenômenos em escala atômica. É isso que a essa impossibilidade de isolamento da Natureza em relação ao observador uma força que os muitos argumentos apresentados durante a disputa milenar entre as concepções materialista e idealista do Universo jamais puderam acumular. Deixemos, porém, para outra ocasião a exploração deste importante tema a fim de examinarmos algumas conseqüências menos controvertidas das surpreendentes exigências da Mecânica Quântica. Vínhamos de uma física, a Newtoniana, em que a presença de um observador podia ser ignorada, e chegamos a física de Heisenberg, em que a omissão dos distúrbios causados pelo observador torna a teoria inconsistente. É uma teoria muito mais difícil, mas como me parece mais profunda! Voltando por um momento a análise da determinação da posição de um elétron por meio de um fóton, vemos que a impossibilidade de determinar acuradamente a posição e o momento de um elétron está ligada ao fato de que a Natureza nos oferece como o seu mais sensível instrumento para esse gênero de medida o fóton. Ora, a teoria de Heisenberg contém em si as limitações à acuracia dessa medida, e a prevê. Logo, de alguma forma, a teoria se manifesta quanto a existência e ao tipo desse mais sensível instrumento de medida. A Mecânica Quântica, por conseguinte, vai mais longe do que as teorias que a precederam: não apenas diz como a Natureza procede, mas é capaz de se manifestar sobre o que a Natureza pode ser, e o que não pode! Outra conseqüência do Princípio da Incerteza foi notada pelo grande físico inglês Dirac. Observa ele que se tem, agora uma definição objetiva do que é grande e do que é pequeno na Natureza, de acordo com a possibilidade ou impossibilidade, respectivamente, de se desprezar a ação do observador em uma medida da quantidade em questão. Limites intrínsecos à precisão de experiências, como os que foram aqui descritos, tem um significado filosófico que estamos ainda muito longe de esgotar. Em particular, a Metafísica se interessará por saber se a Natureza é inerentemente indeterminista, ou se o determinismo é rompido pelo ato de observação. Em um certo sentido a discussão carece de significado, urna vez que propriedades naturais inerentemente não observáveis desafiam qualquer avaliação objetiva. Uma citação do físico americano P. W. Bridgman a esse respeito é oportuna : "O efeito imediato do Princípio da Incerteza será abrir as portas a uma onda de pensamento licencioso. Isso virá da recusa em aceitar no seu verdadeiro significado a afirmação de que não faz sentido penetrar em uma escala muito mais profunda do que a do elétron e apresentará a tese de que realmente um domínio além dessa escala, apenas que o homem, com suas presentes limitações, não está em condições de penetrá-lo. A existência de um tal domínio será a base de uma orgia de racionalizações. Ele será a substância da alma ... o princípio dos processos vitais; e ele será o meio da comunicação telepática. Um grupo achará na falha da lei física da causa e efeito a solução do antigo problema do livre-arbítrio, enquanto, por outro lado, o ateu achará ali a justificativa para a sua convicção de que o acaso domina o Universo." Em outras palavras, na análise das conseqüências do Princípio da Incerteza, todo o cuidado é pouco. Por outro lado, o alcance dessas idéias fundamentais é praticamente ilimitado, e cinqüenta anos de convivência com o Princípio da Incerteza não foram suficientes para explorar senão as suas conseqüências mais imediatas. O tempo, creio, revelará em Heisenberg um de nossos mais profundos pensadores. Texto gentilmente cedido pelo Prof. Henrique Fleming e pelo Estado de São Paulo. Suplemento Cultural - nº 68 - ano II - pág 7 - 1978
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Henrique Fleming O processo que levou Werner Heisenberg a chegar aos princípios da Mecânica Quântica, na década de vinte, é sumariado neste artigo. Jovem estudante de Sommerfeld, Heisenberg era, segundo o depoimento de seus contemporâneos, dotado de um brilho excepcional. Um dos seus pontos de partida foi a leitura do "Timeu" de Platão. Werner Heisenberg (1901-1976) foi o descobridor da Mecânica Quântica, que desempenha hoje o papel que foi anteriormente da Mecânica Newtoniana. Em muitos aspectos essa teoria é capaz de causar um impacto ainda maior que o da Relatividade de Einstein, e não no meio cientifico. De fato, como pretendo mostrar neste e em outros artigos, a Mecânica Quântica traz em seu bojo idéias que deverão alterar profundamente a teoria do conhecimento, e até mesmo pôr em questão a possibilidade de obtenção ilimitada de conhecimento. Heisenberg chegou a Mecânica Quântica seguindo uma estratégia que é de interesse em si. Para entendê-la é necessário rever a situação da Física por volta de 1925. Em 1911 Niels Bohr apresentou um modelo do átomo de hidrogênio que descrevia corretamente o seu espectro. Para obtê-lo, Bohr acrescentava as leis da Mecânica Newtoniana uma regra que selecionava órbitas nas quais o elétron podia mover-se em torno do núcleo sem emitir radiação eletromagnética. Esta regra, hoje conhecida como regra de quantização de Bohr, devia ser aceita sem outra justificação que o seu sucesso, tratando-se, assim, de um novo postulado. Apesar do êxito na reprodução dos dados experimentais, a situação permanecia altamente insatisfatória: a regra de quantização não era consistente com a teoria da interação matéria - radiação, que previa a emissão de radiação mesmo nas órbitas selecionadas. Com o passar dos anos o prosseguimento das pesquisas ao longo das linhas abertas por Bohr conduziu a formulação de novas regras de quantização, bastante elaboradas, chamadas de Bohr- Sommerfeld, que permitiam o cálculo do espectro de um número razoável de átomos, de novo através da seleção de certas órbitas, nas quais os elétrons podiam mover-se sem irradiar. Nenhuma luz fora lançada, no entanto, sobre o problema de justificar essa propriedade especial de tais órbitas. Uma excelente visão dessa época é propiciada pela leitura do livro clássico de Sommerfeld, "Atombau und Spektrallinien", que compila praticamente tudo o que se sabia sobre o átomo em 1920. Enquanto que um certo sucesso (malgrado o aspecto "ad hoc" das regras) era obtido na descrição da radiação emitida por um átomo, outras propriedades atômicas permaneciam misteriosas. A intensidade da emissão, por exemplo, e o espalhamento da radiação, eram muito pouco entendidos, na época. As forças de longo alcance entre moléculas, chamadas forças de Van der Waals, não eram entendidas nem mesmo qualitativamente. Foi neste período que Heisenberg, jovem estudante de Sommerfeld, apareceu no cenário cientifico. Era, a julgar pelos comentários de seus contemporâneos, uma pessoa de excepcional brilho, mesmo pelos elevadíssimos padrões da ciência alemã de então. Não tardou a se convencer de que os esquemas que permitiam o cálculo dos espectros de certos átomos eram demasiado complicados e pouco confiáveis para poderem constituir uma mecânica do átomo, para não falar das inconsistências que brotavam de todo ponto ao qual se dirigisse alguma atenção. Pareceram-lhe semelhantes aos mecanismos descritos no Timeu, de Platão, que lera por aquela época. Tendo encontrado pouco depois em Niels Bohr um julgamento semelhante ao seu, e todo o estímulo de que poderia precisar, partir para a descoberta de uma mecânica para o átomo com uma estratégia sensata: que as elaboradas regras para o cálculo de órbitas eram eficientes para o cálculo de espectros, mas falhavam no cálculo de muitas outras propriedades do átomo, pareceu-lhe natural tentar obter os espectros atômicos sem falar em trajetórias, sem mesmo, na verdade, supor a existência de trajetórias. Em termos mais gerais, procurou obter as freqüências da luz emitida pelos átomos utilizando em seus cálculos apenas quantidades macroscopicamente observáveis. Fazendo, isto é, o mínimo de suposições sobre o que era, em detalhe, o átomo. A história de como conseguiu, desta forma, descobrir a mecânica atômica, que, por isso mesmo, é a mecânica de todo o Universo, não pode ser contada nas páginas de um jornal. É, contudo, digno de nota que conseguiu resolver o problema quando resistiu a tentação de impor a Natureza qualquer idéia do que fosse um átomo, e se dispôs a ouvir o que ela tinha a dizer. Em 1925, com a descoberta da Mecânica Quântica, Werner Heisenberg tornou-se um dos maiores físicos de todos os tempos. 0 Principio da Incerteza De posse da mecânica do átomo, poder-se-ia pensar em, utilizando a teoria, deduzir a trajetória descrita por um elétron. Para surpresa da comunidade cientifica, a resposta da Mecânica Quântica foi de que era irnpossível calcular a trajetória pela razão de que não existia trajetória! A proibição dessa existência é expressa através do famoso Princípio da Incerteza, descoberto por Heisenberg em 1927, que afirma a impossibilidade de se determinar simultaneamente a posição e a velocidade de uma partícula com precisão arbitrariamente grande. Na verdade é possível especificar qualquer uma dessas duas quantidades tão precisamente quanto se queira, mas, a medida que se aumenta a precisão na determinação de uma, perde-se precisão na determinação da outra. Mais precisamente, não é possível estipular que o vaIor da coordenada x e do seu momento conjugado p sejam dados por X e P com incerteza arbitrariamente pequena. Ao contrário, se DELTA00.gif - 945 Bytesx e DELTA00.gif - 945 Bytesp designam respectivamente a incerteza no valor da coordenada e do momento, existe a desigualdade, chamada de relação de incerteza, DELTA00.gif - 945 Bytes x . DELTA00.gif - 945 Bytes p maior-igual.gif - 937 Bytes h/4, onde h é a constante de Planck. Uma vez que a constante é muito pequena (6,6 x 10-27 erg. seg), a relação de incerteza é de pouca importância para a experiência ordinária. Por exemplo, o erro na determinação da posição e da velocidade de um satélite artificial é absolutamente irrelevante mesmo para os mais refinados cálculos de órbitas. Por outro lado, é de grande significado na interpretação de experimentos atômicos e possui implicações filosóficas surpreendentes. 0 Principio da Incerteza é uma conseqüência inelutável da Mecânica Quântica. Pode, contudo, ser compreendido em termos de certas experiências imaginárias, estudadas em grande detalhe por Heisenberg e, posteriormente, por Bohr. Examinemos, de maneira muito simplificada, um desses experimentos. A visualização de um elétron se quando um fóton emitido por este elétron é detectado (digamos, pela retina do observador). Lance-se, por exemplo, um feixe de fótons de comprimento de onda L em direção à região onde se encontra o elétron. O fóton que com ele colidir será refletido (absorvido e reemitido) e sua detecção nos informará sobre a posição do elétron. Naturalmente, um fóton de comprimento de onda L não pode determinar a posição do elétron com precisão maior do que L. Seria de se pensar, portanto, que a utilização de um fóton de comprimento de onda menor fornecesse informações mais completas. Sabe-se, porém, que a quantidade de movimento de um fóton é inversamente proporciona ao seu comprimento de onda. Logo, ao usarmos fótons de menor comprimento de onda para aprimorarmos a medida da posição do elétron, estaremos automaticamente usando fótons de maior quantidade de movimento que, ao serem refletido pelo elétron, transferirão a ele uma quantidade de movimento tanto maior quanto menor for o comprimento de onda. Assim, ao aprimorarmos a determinação da posição do elétron, estaremos alterando o valor de sua quantidade de movimento por um valor que é tanto maior quanto mais precisa for a determinação da posição. Uma análise mais detalhada mostra que o valor desta transferência de momento é incontrolável. Ora, a trajetória de uma partícula é determinada pelo conhecimento, em um dado instante, da posição e da velocidade da partícula. A impossibilidade desse duplo conhecimento acarreta automaticamente a impossibilidade de determinação da trajetória. Não há trajetórias na mecânica Quântica ! Nessa análise da observação de um elétron, o fóton representa a ação do observador sobre o objeto observado. O fato de o elétron ser visto implica a necessidade de que um fóton seja emitido por ele, com as conseqüências descritas. O princípio da incerteza é, assim, uma manifestação da impossibilidade de se ignorar a interação observador - sistema observado. É impossível, na descrição do mundo atômico, separar completamente o observador do "resto da Natureza", uma vez que o distúrbio causado pela observação é comparável aos próprios fenômenos que estão sendo observados. É notável que essa "intromissão" do observador em toda descrição da Natureza seja, não o resultado de uma convicção filosófica, mas uma conseqüência imprevista de uma teoria formulada para o estudo quantitativo de fenômenos em escala atômica. É isso que a essa impossibilidade de isolamento da Natureza em relação ao observador uma força que os muitos argumentos apresentados durante a disputa milenar entre as concepções materialista e idealista do Universo jamais puderam acumular. Deixemos, porém, para outra ocasião a exploração deste importante tema a fim de examinarmos algumas conseqüências menos controvertidas das surpreendentes exigências da Mecânica Quântica. Vínhamos de uma física, a Newtoniana, em que a presença de um observador podia ser ignorada, e chegamos a física de Heisenberg, em que a omissão dos distúrbios causados pelo observador torna a teoria inconsistente. É uma teoria muito mais difícil, mas como me parece mais profunda! Voltando por um momento a análise da determinação da posição de um elétron por meio de um fóton, vemos que a impossibilidade de determinar acuradamente a posição e o momento de um elétron está ligada ao fato de que a Natureza nos oferece como o seu mais sensível instrumento para esse gênero de medida o fóton. Ora, a teoria de Heisenberg contém em si as limitações à acuracia dessa medida, e a prevê. Logo, de alguma forma, a teoria se manifesta quanto a existência e ao tipo desse mais sensível instrumento de medida. A Mecânica Quântica, por conseguinte, vai mais longe do que as teorias que a precederam: não apenas diz como a Natureza procede, mas é capaz de se manifestar sobre o que a Natureza pode ser, e o que não pode! Outra conseqüência do Princípio da Incerteza foi notada pelo grande físico inglês Dirac. Observa ele que se tem, agora uma definição objetiva do que é grande e do que é pequeno na Natureza, de acordo com a possibilidade ou impossibilidade, respectivamente, de se desprezar a ação do observador em uma medida da quantidade em questão. Limites intrínsecos à precisão de experiências, como os que foram aqui descritos, tem um significado filosófico que estamos ainda muito longe de esgotar. Em particular, a Metafísica se interessará por saber se a Natureza é inerentemente indeterminista, ou se o determinismo é rompido pelo ato de observação. Em um certo sentido a discussão carece de significado, urna vez que propriedades naturais inerentemente não observáveis desafiam qualquer avaliação objetiva. Uma citação do físico americano P. W. Bridgman a esse respeito é oportuna : "O efeito imediato do Princípio da Incerteza será abrir as portas a uma onda de pensamento licencioso. Isso virá da recusa em aceitar no seu verdadeiro significado a afirmação de que não faz sentido penetrar em uma escala muito mais profunda do que a do elétron e apresentará a tese de que realmente um domínio além dessa escala, apenas que o homem, com suas presentes limitações, não está em condições de penetrá-lo. A existência de um tal domínio será a base de uma orgia de racionalizações. Ele será a substância da alma ... o princípio dos processos vitais; e ele será o meio da comunicação telepática. Um grupo achará na falha da lei física da causa e efeito a solução do antigo problema do livre-arbítrio, enquanto, por outro lado, o ateu achará ali a justificativa para a sua convicção de que o acaso domina o Universo." Em outras palavras, na análise das conseqüências do Princípio da Incerteza, todo o cuidado é pouco. Por outro lado, o alcance dessas idéias fundamentais é praticamente ilimitado, e cinqüenta anos de convivência com o Princípio da Incerteza não foram suficientes para explorar senão as suas conseqüências mais imediatas. O tempo, creio, revelará em Heisenberg um de nossos mais profundos pensadores. Texto gentilmente cedido pelo Prof. Henrique Fleming e pelo Estado de São Paulo. Suplemento Cultural - nº 68 - ano II - pág 7 - 1978
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